考向六 无理数的估算

考向六 无理数的估算
无理数的估算在近年的中考试卷中频频出现，无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围.

典例16  已知m= ，则以下对m的估算正确的
A．2＜m＜3                                                B．3＜m＜4   
C．4＜m＜5                                                 D．5＜m＜6
【答案】B
【解析】∵m= =2+ ，
1＜ ＜2，
∴3＜m＜4，
故选B．

16．估计5﹣ 的值在
A．0和1之间                                             B．1和2之间   
C．2和3之间                                             D．3和4之间
1．若向东走30 记为+30 ，则向西走50 记为
A．                                                             B．    
C．                                                      D．
2． 的绝对值等于
A．                                                           B．    
C．                                                           D．2
3．下列算式中，运算结果为负数的是
A．﹣（﹣2）                                                B．|﹣2|   
C．﹣2²                                                         D．（﹣2）²
4．下列有理数 ，其中负数的个数有
A．1个                                           B．2个   
C．3个                                            D．4个
5．在﹣3，﹣1，0，1四个数中，比﹣2小的数是
A．﹣3                                            B．﹣1   
C．0                                                D．1
6．有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，则

A．                                     B．
C．                                      D．
7．下列说法错误的是
A．0是绝对值最小的有理数                  
B．如果 的相反数是 5,那么 5
C．若∣ ∣ ∣ 4∣，那么   4   
D．任何非零有理数的平方都大于0
8．下列说法正确的是
A．0既不是正数，也不是负数，所以0不是有理数
B．在-3与-1之间仅有一个有理数
C．一个负数的倒数一定还是负数
D．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右
9．如图，在数轴上点A所表示的数的绝对值为

A．1                                                B．﹣1   
C．0                                                D．2
10．己知a=5，|b|=8，且满足a+b＜0，则a-b的值为
A．13                                            B．-13   
C．3                                              D．-3
11．下列各组中互为相反数的是
A．–2.5与                              B． 和2   
C．–2与                                   D． 与
12．“十一”小长假7天，温州长途共运送乘客320000人次，320000用科学记数法表示为
A．                                    B．    
C．                                 D．
13．若a=﹣4×4，b=﹣|﹣3²×1 |，c=﹣5+2×（﹣2²），则a、b、c的大小关系是
A．a＞b＞c                                   B．c＞b＞a   
C．b＞c＞a                                   D．c＞a＞b
14．（-1）²⁰¹⁸的倒数等于
A．-1                                            B．1   
C．2018                                        D．-2018
15．在实数﹣3、2、0、﹣π中，最小的数是
A．﹣3                                          B．2   
C．0                                              D．﹣π
16．(－6)²的平方根是
A．－6                                          B．36   
C．±6                                            D．±
17．化简 的结果是
A．8                                             B．    
C．                                               D．
18．在3.14， ，﹣π， ，﹣ 这些数中，无理数的个数为
A．2                                             B．3   
C．4                                              D．5
19．估计 +1的值是
A．在2和3之间                           B．在3和4之间   
C．在4和5之间                           D．在5和6之间
20．若 的整数部分为a，小数部分为b，则a﹣b的值为
A．﹣                                       B．6-    
C．8﹣                                     D． ﹣6
21．已知对于数a、b、c、d，规定一种运算 =ad-bc，那么当 　 =25时，则 =
A．                                         B．    
C．                                         D．
22．用十进制计数法表示正整数，如365=300+60+5=3×10²+6×10¹+5，用二进制计数法来表示正整数，如：5=4+1=1×2²+0×2¹+1×1，记作：5=（101）₂，14=8+4+2=1×2³+1×2²+1×2¹+0×1，记作：14=（1110）₂，则（101011）₂表示数
A．61                                            B．43   
C．42                                            D．24
23．计算：|1﹣ |﹣（﹣3）²+ =_________．学!科网
24．数轴上A点表示的数是5，那么同一数轴上与A点相距6个单位长度的点表示的数是_________．
25．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是_________．

26．若实数 ，y满足 ，则 y的立方根为_________．
27．我们知道，一元二次方程x²=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足i²=﹣1（即x²=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i¹=i，i²=﹣1，i³=i²•i=（﹣1）•i=﹣i，i⁴=（i²）²=（﹣1）²=1，从而对任意正整数n，由于i⁴ⁿ=（i⁴）ⁿ=1ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=1•i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=﹣1，i⁴ⁿ⁺³=﹣i，那么i⁹=_________，i²⁰¹⁸=_________．
28．计算： ﹣（ ）²+ +（π﹣3）⁰+2sin30°.
 
 
 
29．已知 和|8b﹣3|互为相反数，求（ab）⁻²﹣28的平方根．
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30．（1）已知 的平方根是 ， 的立方根是2， 是 的整数部分，求 的值;
（2）已知 与 互为相反数，求（x+y）²的平方根.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1．（2018·义乌市）向东走 记为 ，则向西走 可记为
A．                                                B．    
C．                                                 D．
2．（2018·内江）﹣3的绝对值是
A．﹣3                                                   B．3   
C．−                                                             D．
3．（2018·贵阳）如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是

A． ﹣2                                                 B． 0   
C． 1                                                     D． 4
4．（2018·本溪市）如果a与1互为相反数，则|a+2|等于
A． 2                                                     B． −2   
C． 1                                                     D． −1
5．（2018·哈尔滨）﹣ 的绝对值是
A．                                                        B．    
C．-                                                       D．-
6．（2018·十堰）在0，﹣1，0.5，（﹣1）²四个数中，最小的数是
A．0                                                       B．﹣1  
C．0.5                                                    D．（﹣1）²
7．（2018·锦州）下列实数为无理数的是
A．-5                                                     B．    
C．0                                                       D．π
8．（2018·荆州）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是

A．原点在点A的左边                            B．原点在线段AB的中点处
C．原点在点B的右边                            D．原点可以在点A或点B上
9．（2018·莱芜）无理数2 ﹣3在
A．2和3之间                                        B．3和4之间   
C．4和5之间                                        D．5和6之间
10．（2018·毕节）习近平主席在2018年新年贺词中指出，2017年，基本医疗保险已经覆盖1350000000人．将1350000000用科学记数法表示为
A．135×10⁷                                          B．1.35×10⁹   
C．13.5×10⁸                                         D．1.35×10¹⁴
11．（2018·德阳）把实数 用小数表示为
A．0.0612                                            B．6120   
C．0.00612                                           D．612000
12．（2018·曲靖市）截止2018年5月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规模约为3.11×10⁴亿元美元，则3.11×10⁴亿表示的原数为
A．2311000亿                                      B．31100亿   
C．3110亿                                           D．311亿
13．（2018·梧州市）研究发现，银原子的半径约是 0.00015 微米，把 0.00015 这个数字用科学记数法表示应是
A．1.5×10^﹣4                                         B．1.5×10^﹣5   
C．15×10^﹣5                                          D．15×10^﹣6
14．（2018·绥化）在 ， ， ， ， 这五个数中，有理数有__________个
15．（2018·乐山）如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为__________．

16．（2018·邵阳市）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是__________．

17．（2018·黔东南，黔南，黔西南）如图为洪涛同学的小测卷，他的得分应是__________分．

18．（2018·南京）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数__________．
19．（2018·资阳市）已知a、b满足（a﹣1）²+ =0，则a+b=__________．
20．（2018·德州）计算: =__________．
21．（2018·昆明）在实数﹣3，0，1中，最大的数是__________．
22．（2018·桂林市）比较大小：-3__________0.（填“< ”“=”“ > ”）
23．（2018·锦州）上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体框架内，设立300亿元人民币等值专项贷款.将300亿元用科学记数法表示为__________元.
24．（2018·福建省）计算：（ ）⁰﹣1=__________．
25．（2018·莱芜市）计算：（π﹣3.14）⁰+2cos60°=__________．
26．（2018·德阳）计算： .
 
 
 
 
 
27．（2018·毕节市）计算： .
 
 
 
 
 
 
 

 

变式拓展

1．【答案】B
【解析】根据负数的绝对值是它的相反数，得 ．故选B．

4．【答案】A
【解析】∵（﹣3）⁻²= ， 的平方根为 ，∴（﹣3）⁻²的平方根是 .
故选A.
5．【答案】D
【解析】∵64的算术平方根是8，8的立方根是2，
∴这个数的立方根是2.
故选D.
6．【答案】-2
【解析】由题意知， ，∴  
7．【答案】-20%
【解析】根据题意可得：盈利为“+”，则亏损为“-”，
∴亏损20%记为：-20%．
故答案为：-20%．
8．【答案】3
【解析】 ＝|−9|＝9，
则 的算术平方根是 ＝3，
故答案为：3．
9．【答案】见解析

10．【答案】3.4×10⁻¹⁰
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10⁻ⁿ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．即0.00000000034= 3.4×10⁻¹⁰，故答案为：3.4×10⁻¹⁰．
11．【答案】D
【解析】先利用科学记数法将3184900表示为 ,然后根据近似数的精确度求解,因为精确到十万位,所以近似值是3.2×10⁶,故选D.
12．【答案】＜
【解析】根据数轴上a、 b的位置得出a＜0，b＞0，
∴a＜b，
故答案为：＜．
13．【答案】 -1
【解析】原式=2 +1- -2= -1．
14．【解析】原式 .
15．【答案】C
【解析】－ ＜－1.4＜－1＜ ＜2＜3，故大小在－1和2之间的数是 ，故答案选C.
16．【答案】A
【解析】   故选：A.
 
 

考点冲关

1．【答案】B
【解析】∵向东走30 m，记作+30 m，∴向西走50 m记作 .故选：B.
【名师点睛】此题考查了具有相反意义的量，在生产、生活中常常会遇到一些具有相反意义的量，为了更好地区分这些具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，把另一种和它具有相反意义的量规定为负的.学科!网
2．【答案】D
【解析】∵负数的绝对值等于它的相反数，∴ =2.故选D.

4．【答案】B
【解析】−（−2）＝2，（−1）⁶＝1，−|−5|＝−5，所以负数有两个，故选：B．
5．【答案】A
【解析】因为正数是比0大的数,负数是比0小的数,正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小,所以在-3,-1,0,1这四个数中比0小的数是-3,故选A．
6．【答案】D
【解析】根据数轴可得: , ,异号两数相加,取绝对值较大的作为结果的符号,因为a为负数,b为正数, ,所以 ,因此A,B不正确,
异号两数相减,减去一个数等于加上这个数的相反数,然后再根据有理数加法计算, 因为a为负数,b为正数, ,即两个负数相加,结果为负数,所以 ,因此D正确,故选D.
7．【答案】C
【解析】A选项, 因为绝对值是指数轴上表示数对应的点到原点的距离,所以0是绝对值最小的有理数,说法正确,   
B选项,因为只有符号不同的两个数是互为相反数,所以“如果 的相反数是 5,那么 5”,说法正确,
C选项,因为 ,所以”若∣ ∣ ∣ 4∣,那么   4 “说法错误,  
D选项,因为正数的平方是正数,负数的平方也是正数,所以任何非零有理数的平方都大于0, 说法正确,故选C.

9．【答案】A
【解析】由数轴可得：点A表示的数是﹣1．
∵|﹣1|=1，∴数轴上点A所表示的数的绝对值为1．
故选A．
10．【答案】A
【解析】∵|b|=8，∴b=±8.∵a=5，a+b＜0，∴b=-8,∴a-b=5-(-8)=13.故选A.
11．【答案】D
【解析】 ，–2.5与2不互为相反数，A选项错误；2与 符号相同，不互为相反数，B选项错误；–2与 符号相同数值不同，不互为相反数，C选项错误； ， 与 互为相反数，D选项正确；故正确答案为D.
12．【答案】B
【解析】由题意知，∵ ，所以n是正数，又∵ ,n为整数，∴ ＝ ,此时小数点向左移动了5位，∴n=5，所以320000用科学记数法表示为 ，故选B.

14．【答案】B
【解析】( − 1 ) ²⁰¹⁸=1  ，1的倒数是1.故选 B.
15．【答案】D
【解析】∵|﹣3|=3，|﹣π|=π，∴3＜π，∴﹣3＞﹣π，∴2＞0＞﹣3＞﹣π，则最小的数是：﹣π．故选D．
16．【答案】C
【解析】 的平方根是 故选C.
17．【答案】D
【解析】∵（−2）³=-8，∴ =-2，故选D.
18．【答案】A
【解析】在3.14， ，﹣π， ，﹣ 这些数中，﹣π， 是无理数，共2个.
故选A.
19．【答案】C
【解析】∵3²=9,4²=16，
∴
∴ +1在4到5之间，
故选C.
20．【答案】B
【解析】∵3＜ ＜4，∴a=3，b= ﹣3，∴a﹣b=3﹣（ ﹣3）
=6﹣ ．故选B．
21．【答案】D
【解析】∵ 　 =25，
∴ ，
解得 .
故选D.

24．【答案】11或-1
【解析】设同一数轴上与A点相距6个单位的点表示的数是x，则∣x-5∣=6，
解得：x=11或x=-1．
故答案为：11或-1．学_科网
25．【答案】b﹣2a
【解析】由数轴可得：a＜0，b>0，a﹣b＜0，
则原式=︳a︱+︳a-b︱
=﹣a﹣（a﹣b）
=b﹣2a．
故答案为：b﹣2a．
26．【答案】
【解析】∵（2x+3）²+|9-4y|=0，
∴2x+3=0，解得x=- ，
9-4y=0，解得y= ，
xy=- × =- ，
∴xy的立方根为- ．
故答案为：- ．
27．【答案】i，﹣1
【解析】i⁹=（i⁴）²•i=1²•i=i；
i²⁰¹⁸=（i⁴）⁵⁰⁴•i²=1•（﹣1）=﹣1．
故答案为i，﹣1．
28．【答案】3.75
【解析】原式=0.5﹣ + +1+1=3.75．
29．【答案】±6
【解析】∵ 和 互为相反数，
∴ ，
解得： ，
∴
=
=
=
∴ 的平方根为： ，
故答案为： .

根据题意得：
可得
解得：  
则 的平方根是
 

直通中考

1．【答案】C
【解析】若向东走2 m记作+2 m，则向西走3 m记作−3 m，
故选：C．
2．【答案】B
【解析】根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．
3．【答案】C
【解析】∵点A、B表示的数互为相反数，AB=6,
∴原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3，点A对应的数为-3，
又∵BC=2，点C在点B的左边，
∴点C对应的数是1，
故选C．
4．【答案】C
【解析】由a与1互为相反数，得a+1=0,即a=-1，故|a+2|=|-1+2|=1.
故选：C.
5．【答案】A
【解析】|− |= ，故选：A．学+科网
6．【答案】B
【解析】根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）²，
∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）²四个数中，最小的数是﹣1．
故选B．
7．【答案】D
【解析】A、﹣5是整数，是有理数，选项错误；
B、 是分数，是有理数，选项错误；
C、0是整数，是有理数，选项错误；
D、π是无理数，选项正确.
故选D．
8．【答案】B
【解析】∵点A、点B表示的两个实数互为相反数，
∴原点在线段AB上，且到点A、点B的距离相等，
∴原点在线段AB的中点处，
故选B．
9．【答案】B
【解析】∵2 = ，
∴6＜ ＜7，
∴无理数2 -3在3和4之间．
故选B．
10．【答案】B
【解析】将1350000000用科学记数法表示为：1350000000=1.35×10⁹，故选：B．
11．【答案】C
【解析】6.12×10⁻³＝0.00612，故选：C．

14．【答案】3
【解析】根据题意可得有理数有 ， ， ，
， 为无理数，
所以有理数有3个，
故答案为：3．
15．【答案】﹣6
【解析】设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为-1和4，点B关于点A的对称点是点C，
∴AB=4-（-1），AC=-1-x，
根据题意AB=AC，
∴4-（-1）=-1-x，
解得x=-6．
故答案为：-6．
16．【答案】-2
【解析】∵点A在数轴上表示的数是2，
∴点A表示的数的相反数是﹣2，
故答案为：﹣2．
17．【答案】100
【解析】①2的相反数是﹣2，此题正确；
②倒数等于它本身的数是1和﹣1，此题正确；
③﹣1的绝对值是1，此题正确；
④8的立方根是2，此题正确；
则洪涛同学的得分是4×25=100，
故答案为：100．
18．【答案】 （答案不唯一）
【解析】设|a|=-a，
|a|≥0，所以-a≥0，所以a≤0，即a为非正数．
故答案可为-1（答案不唯一）.

20．【答案】1
【解析】|﹣2+3|=1，故答案为：1．
21．【答案】1
【解析】在实数-3，0，1中，最大的数是1，
故答案为：1．
22．【答案】<
【解析】-3＜0．
故答案为：＜．
23．【答案】
【解析】∵300亿=30 000 000 000，
∴30 000 000 000=3×10¹⁰.
故答案为：3×10¹⁰.
24．【答案】0
【解析】原式=1-1=0，故答案为：0．
25．【答案】2
【解析】原式=1+2×
=1+1
=2.
故答案为：2.学科&网
26．【答案】10
【解析】原式＝3＋8−1−4× ＋2 ＝10−2 ＋2 ＝10．
27．【答案】﹣5
【解析】原式=﹣3﹣2 + ﹣1+ ﹣1=﹣5.